Une fourmi sur un cube

Imaginons une fourmi sur un cube. On la pose sur un sommet et une fois posée, elle décide d’aller visiter un autre sommet du cube. Comme la fourmi est bien sage, quand elle avance, elle va tout droit. Meme quand elle passe une arete du cube, elle va tout droit dans le sens suivant : si l’on met les deux faces adjacentes du cube à plat, le chemin devient droit dans le sens habituel. C’est ce qu’on appelle un chemin géodésique sur le cube. Si la fourmi arrive sur un sommet, elle est trop contente et elle s’arrete puisque n’importe comment elle ne saurait pas par ou continuer.

La fourmi pourra satisfaire son dessein, comme illustré sur les patrons de cube ci-dessous.

Représentations de chemins géodésiques entre un sommet du cube et les autres sommets
Représentations de chemins géodésiques entre un sommet du cube et les autres sommets

(Ici, la fourmi est sur le sommet A, et on a dessiné des chemins qu’elle pourrait suivre pour aller sur les sommets B, C, D, E, F.)

Eh bien, il y a une dizaine de jours j’ai appris que la fourmi ne pourrait pas revenir au sommet dont elle est partie. C’est un théorème (dont j’ai oublié l’auteur).  Apparament on ne sait toujours pas si dans un dodécaèdre il est possible de revenir au sommet de départ.

Pour finir, je précise que je n’ai aucune idée si une vrai fourmi suivrait des chemins géodésiques sur un cube. Sorry…

P.S. Il manque quelques accents, je sais, c’est parce que j’écris avec un clavier italien.

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